第二百五十八章 微分方程,共轭梯度,泰勒公式!
A4纸张大小的纸上,列着三道题目。
三道题目都有被圈画的痕迹。
卢教授自然不会提前知道程诺要上他这来申请免听。
那么……
他从书桌的一摞资料中看似随便抽出的题目。并非是为程诺专门准备的。
从纸张上那圈画的痕迹来看,这三道题目,被人曾经做过一遍。
而那个人,很有可能就是坐在自己面前的卢教授。
不过,想通了这件事,对程诺目前的处境来说并没有什么卵用。
无论这三道题目是怎么来的,曾经被谁做过,程诺想要让卢教授在免听申请表上签字,就必须做出这三道题目中的一道。
三选一,做对即可!
以卢教授的性格,能提出这样的条件,那足以证明,程诺手中拿着的这张纸上的三道题目,绝非等闲之辈!
其威势,绝对能在瞬间斩杀数以万计的学渣!
容不得程诺不谨慎对待。
程诺看向坐在办公桌的位子上卢教授,走上前开口道,“老师,我没带书包过来,能不能借用一下笔和草稿纸?”
卢教授放下笔,抬头看了一眼一脸人畜无害笑容的程诺,弯下腰,拉开办公桌的抽屉,将笔和草稿纸递给程诺。
他指了一旁的一张书桌,“你就在那边做吧,做完叫我。”
说完,他再次低下头,继续他手中的工作。
而程诺也听话,拿上笔和草稿纸,走到卢教授指的那个书桌前,拉过一把椅子坐下。
那张列着三道题目的A4纸,也被程诺铺平放在桌上。
程诺依次看三道题目,决定选择哪一题作为突破口。
第一题:【已知椭圆柱面S。
r(u,v)={acosu,bsinu,v},-π≤u≤π,∞≤v≤+∞
(1):求S上任意测地线的方程。
(2):设a=b,取p=(a,0,0),Q=r(u,v)={acosu0,bsinu0,v0},-π≤u0≤π,∞≤v0≤+∞,写出S上连接P,Q两点的最短曲线方程。】
第二题:【推导求解线性方程组的共轭梯度法的计算格式,并证明该格式经有限步迭代后收敛。】
第三题:【设f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f(1)=0,min(0≤x≤1)f(x)=-1。
证明:存在η∈(0,1)使得f(η)》8。】
从头到尾看完这三道题目后,程诺的眉头紧皱。
第一道题目,算是一个综合性很强的题目。
椭圆方程,三角函数,微分方程,向量运算。
四个方面的内容相结合,也就导致了这道题目的超高难度。
求解第一问需要向量和三角函数的知识,这个到对程诺来说没什么难度。
可第二问,主要需要的是常微分方程的知识。
关于常微分方程,其实在卢教授正在教授的这本《高等数学》上册的最后的一章里,就有涉及。
不过,本来就是一本基础性数学教学书籍,高等数学所讲的内容,只是一些最为基础简单的解法,皮毛而已。
甚至,或许连皮毛都称不上。
而数学系那边,要大二的时候,才有一本叫做《常微分方程》的专业课,专门详细的讲解这类方程。程诺是跟着今年大一的数学系一块上课的,自然还未学到。
以目前程诺仅有的知识来看,第二问,应该是用求解常微分方程的皮卡-林德勒夫定理来进行求解。
可关于皮卡-林德勒夫定理,程诺只是略有耳闻。距离灵活运用,程诺还差着不小的距离。
第一题,程诺只能战略性放弃。
至于第二道题目,这就更让程诺蛋疼了。
所谓的线性方程组的共轭梯度法,就是通过差分离散Laplace方程,得到一个大型线性方程组。
题目的要求,就是要求将这个方程组一般格式,进行不断的迭代运算,通过残差的递推关系,确定正交的方程组,确定那个趋近的那个收敛值。
要说第一道题目中微分方程求解方式,勉强算是和高数有关的内容的话。
那第二道题目,和高数中所讲解的内容,简直特么的半毛钱的关系的都没有啊!
什么共轭梯度法,Laplace方程,残差递推关系,完全不是程诺这个大一新生应该掌握的内容。
而确实,和上一道题目一样,这些内容,程诺只是听过。
至于解题,抱歉,程诺实在是做不到啊!
本来,程诺还想着这三道题目都给他做出来,好好的震惊卢教授一把。
可奈何……实力不足。
不过,值得程诺庆幸的,第三道题目对程诺来说还算是非常友好的。只要运用泰勒公式的特殊形式,麦克劳林展开式,外加施勒米尔希-罗什余项的相关知识,就能完美求解。
泰勒公式,算是整个高数上册知识中最为复杂难懂的内容。在此葬送了无数的天骄。
其一般用于计算误差。一般的关于泰勒公式的题目,只需要简单的公式代入。
而程诺面前的这道题目却并非这样。
那真的需要一个个去用泰勒公式展开。
工作量,相当复杂!
但和前两道题的完全不会做相比,程诺只能选择这个考验计算量的题目了。
开工吧!
程诺搓搓手,将一摞草稿纸拿到自己面前。
既然选定了题目,那就尽全力去做。
那个免听申请,自己是一定要拿到的!
紧闭双眼,思绪在脑中高速飞转。
半分钟后,程诺的双眼陡然睁开,一抹精光闪过。他嘴角微翘,拿起笔,在草稿纸上一边写一边计算。
【f(x)=f(t)/0!+f'(t)/1!*(x-a)+f''(t)/2!*(x-a)^2……
…………
0=f(0)=-1+f''(t1)/2!x0^2
0=f(1)=……
又因为0≤x≤1,所以f(η)=max{2/x^2,2/(1-x0)^2}≥8!】
搞定!
用了十多分钟的时间,程诺列了整整一张A4纸的公式,终于将这道题目算了出来。
那一瞬间,成就感满满。
检查了一遍,确认没有问题后,程诺盖上笔帽,拿起自己的答案,起身走到卢教授面前。
“教授,我做完了。”程诺轻声开口。
卢教授抬头先看了一眼程诺,随后抬起手腕看了看时间。
他那张略显严肃的脸上,也流露出微微讶然的神情。
显然,程诺的速度,超出于他的预计。
他认认真真的上下打量一眼,倒是不着急接过程诺写好的答案,反而是笑着问,“你做的是第几道题目?”
“第三道。”程诺老老实实回答。
“那你知道这三道题目是我从哪拿来的吗?”卢教授开口。
程诺摇头。
卢教授请吐出一句话,“去年全国大学生数学竞赛数学类三、四年级总决赛最后压轴的三道题,就是这三道。”
“那次,没有一位学生,能够全部做对最后这三道题目。”
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三道题目都有被圈画的痕迹。
卢教授自然不会提前知道程诺要上他这来申请免听。
那么……
他从书桌的一摞资料中看似随便抽出的题目。并非是为程诺专门准备的。
从纸张上那圈画的痕迹来看,这三道题目,被人曾经做过一遍。
而那个人,很有可能就是坐在自己面前的卢教授。
不过,想通了这件事,对程诺目前的处境来说并没有什么卵用。
无论这三道题目是怎么来的,曾经被谁做过,程诺想要让卢教授在免听申请表上签字,就必须做出这三道题目中的一道。
三选一,做对即可!
以卢教授的性格,能提出这样的条件,那足以证明,程诺手中拿着的这张纸上的三道题目,绝非等闲之辈!
其威势,绝对能在瞬间斩杀数以万计的学渣!
容不得程诺不谨慎对待。
程诺看向坐在办公桌的位子上卢教授,走上前开口道,“老师,我没带书包过来,能不能借用一下笔和草稿纸?”
卢教授放下笔,抬头看了一眼一脸人畜无害笑容的程诺,弯下腰,拉开办公桌的抽屉,将笔和草稿纸递给程诺。
他指了一旁的一张书桌,“你就在那边做吧,做完叫我。”
说完,他再次低下头,继续他手中的工作。
而程诺也听话,拿上笔和草稿纸,走到卢教授指的那个书桌前,拉过一把椅子坐下。
那张列着三道题目的A4纸,也被程诺铺平放在桌上。
程诺依次看三道题目,决定选择哪一题作为突破口。
第一题:【已知椭圆柱面S。
r(u,v)={acosu,bsinu,v},-π≤u≤π,∞≤v≤+∞
(1):求S上任意测地线的方程。
(2):设a=b,取p=(a,0,0),Q=r(u,v)={acosu0,bsinu0,v0},-π≤u0≤π,∞≤v0≤+∞,写出S上连接P,Q两点的最短曲线方程。】
第二题:【推导求解线性方程组的共轭梯度法的计算格式,并证明该格式经有限步迭代后收敛。】
第三题:【设f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f(1)=0,min(0≤x≤1)f(x)=-1。
证明:存在η∈(0,1)使得f(η)》8。】
从头到尾看完这三道题目后,程诺的眉头紧皱。
第一道题目,算是一个综合性很强的题目。
椭圆方程,三角函数,微分方程,向量运算。
四个方面的内容相结合,也就导致了这道题目的超高难度。
求解第一问需要向量和三角函数的知识,这个到对程诺来说没什么难度。
可第二问,主要需要的是常微分方程的知识。
关于常微分方程,其实在卢教授正在教授的这本《高等数学》上册的最后的一章里,就有涉及。
不过,本来就是一本基础性数学教学书籍,高等数学所讲的内容,只是一些最为基础简单的解法,皮毛而已。
甚至,或许连皮毛都称不上。
而数学系那边,要大二的时候,才有一本叫做《常微分方程》的专业课,专门详细的讲解这类方程。程诺是跟着今年大一的数学系一块上课的,自然还未学到。
以目前程诺仅有的知识来看,第二问,应该是用求解常微分方程的皮卡-林德勒夫定理来进行求解。
可关于皮卡-林德勒夫定理,程诺只是略有耳闻。距离灵活运用,程诺还差着不小的距离。
第一题,程诺只能战略性放弃。
至于第二道题目,这就更让程诺蛋疼了。
所谓的线性方程组的共轭梯度法,就是通过差分离散Laplace方程,得到一个大型线性方程组。
题目的要求,就是要求将这个方程组一般格式,进行不断的迭代运算,通过残差的递推关系,确定正交的方程组,确定那个趋近的那个收敛值。
要说第一道题目中微分方程求解方式,勉强算是和高数有关的内容的话。
那第二道题目,和高数中所讲解的内容,简直特么的半毛钱的关系的都没有啊!
什么共轭梯度法,Laplace方程,残差递推关系,完全不是程诺这个大一新生应该掌握的内容。
而确实,和上一道题目一样,这些内容,程诺只是听过。
至于解题,抱歉,程诺实在是做不到啊!
本来,程诺还想着这三道题目都给他做出来,好好的震惊卢教授一把。
可奈何……实力不足。
不过,值得程诺庆幸的,第三道题目对程诺来说还算是非常友好的。只要运用泰勒公式的特殊形式,麦克劳林展开式,外加施勒米尔希-罗什余项的相关知识,就能完美求解。
泰勒公式,算是整个高数上册知识中最为复杂难懂的内容。在此葬送了无数的天骄。
其一般用于计算误差。一般的关于泰勒公式的题目,只需要简单的公式代入。
而程诺面前的这道题目却并非这样。
那真的需要一个个去用泰勒公式展开。
工作量,相当复杂!
但和前两道题的完全不会做相比,程诺只能选择这个考验计算量的题目了。
开工吧!
程诺搓搓手,将一摞草稿纸拿到自己面前。
既然选定了题目,那就尽全力去做。
那个免听申请,自己是一定要拿到的!
紧闭双眼,思绪在脑中高速飞转。
半分钟后,程诺的双眼陡然睁开,一抹精光闪过。他嘴角微翘,拿起笔,在草稿纸上一边写一边计算。
【f(x)=f(t)/0!+f'(t)/1!*(x-a)+f''(t)/2!*(x-a)^2……
…………
0=f(0)=-1+f''(t1)/2!x0^2
0=f(1)=……
又因为0≤x≤1,所以f(η)=max{2/x^2,2/(1-x0)^2}≥8!】
搞定!
用了十多分钟的时间,程诺列了整整一张A4纸的公式,终于将这道题目算了出来。
那一瞬间,成就感满满。
检查了一遍,确认没有问题后,程诺盖上笔帽,拿起自己的答案,起身走到卢教授面前。
“教授,我做完了。”程诺轻声开口。
卢教授抬头先看了一眼程诺,随后抬起手腕看了看时间。
他那张略显严肃的脸上,也流露出微微讶然的神情。
显然,程诺的速度,超出于他的预计。
他认认真真的上下打量一眼,倒是不着急接过程诺写好的答案,反而是笑着问,“你做的是第几道题目?”
“第三道。”程诺老老实实回答。
“那你知道这三道题目是我从哪拿来的吗?”卢教授开口。
程诺摇头。
卢教授请吐出一句话,“去年全国大学生数学竞赛数学类三、四年级总决赛最后压轴的三道题,就是这三道。”
“那次,没有一位学生,能够全部做对最后这三道题目。”
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