第三百五十章 搞定毕业论文
350章
另一边,华国。
经过一夜的思考,困惑程诺终于对自己的毕业论文有了新的思路。
关于两个引理的运用,程诺有他自己独到的见解。
所以,这天白天的课一结束,程诺便匆匆赶到图书馆,随便挑了一个没人的位置,拿出纸笔,验证自己的想法。
既然将两个引理强加进Bertrand假设的证明过程中这个方向行不通,那程诺想的是,能否根据这两个引理,得出几个推论,然后再应用到Bertrand假设中。
这样的话,虽然拐了个弯,看似比切比雪夫的方法还要麻烦不少。但在真正的结果出来之前,谁也不敢百分百就这样说。
程诺觉得还是应该尝试一下。
工具早已备好,他沉吟了一阵,开始在草稿纸上做各种尝试。
他有不是上帝,并不能很明确的知晓通过引理得出来的推论究竟哪个有用,哪个没用。最稳妥的方法,就是一一尝试。
反正时间足够,程诺并不着急。
唰唰唰~~
低着头,他列下一行行算式。
【设m为满足pm≤2n的最大自然数,则显然对于iamp;gt;m,floor(2n/pi)-2floor(n/pi)=0-0=0,求和止于i=m,共计m项。由于floor(2x)-2floor(x)≤1,因此这m项中的每一项不是0就是1……】
由上,得推论1:【设n为一自然数,p为一素数,则能整除(2n)!/(n!n!)的p的最高幂次为:s=Σi≥1[floor(2n/pi)-2floor(n/pi)]。】
【因为n≥3及2n/3amp;lt;p≤n表明p2amp;gt;2n,求和只有i=1一项,即:s=floor(2n/p)-2floor(n/p)。由于2n/3amp;lt;p≤n还表明1≤n/pamp;lt;3/2,因此s=floor(2n/p)-2floor(n/p)=2-2=0。】
由此,得推论2:【设n≥3为一自然数,p为一素数,s为能整除(2n)!/(n!n!)的p的最高幂次,则:(a)ps≤2n;(b)若pamp;gt;√2n,则s≤1;(c)若2n/3amp;lt;p≤n,则s=0。】
一行行,一列列。
除了上课,程诺一整天都泡在图书馆里。
等到晚上十点闭馆的时候,程诺才背着书包依依不舍的离开。
而在他手中拿着的草稿纸上,已经密密麻麻的列着十几个推论。
这是他劳动一天的成果。
明天程诺的工作,就是从这十几个推论中,寻找出对Bertrand假设证明工作有用的推论。
…………
一夜无话。
翌日,又是阳光明媚,春暖花开的一天。
日期是三月初,方教授给程诺的一个月假期还剩十多天的时间。
程诺又足够的时间去浪……哦,不,是去完善他的毕业论文。
论文的进度按照程诺规划的方案进行,这一天,他从推导出的十几个推论中寻找出证明Bertrand假设有重要作用的五个推论。
结束了这忙碌的一天,第二天,程诺便马不停蹄的开始正式Bertrand假设的证明。
这可不是个轻松的工作。
程诺没有多大把握能一天的时间搞定。
可一句古话说的好,一鼓作气,再而衰,三而竭。如今势头正足,最好一天拿下。
这个时候,程诺不得不再次准备开启修仙大法。
而修仙神器,“肾宝”,程诺也早已准备完毕。
肝吧,少年!
程诺右手碳素笔,左手肾宝,开始攻克最后一道难关。
切尔雪夫在证明Bertrand假设时,采取的方案是直接进行已知定理进行硬性推导,丝毫没有任何技巧性可言。
程诺当然不能这么做。
对于Bertrand假设,他准备使用反证法。
这是除了直接推导证明法之外最常用的证明方法,面对许多猜想时非常重要。
尤其是……在证明某个猜想不成立时!
但程诺现在当时不是要寻找反例,证明Bertrand假设不成立。
切尔雪夫已然证明这一假设的成立,使用反证法,无非是将证明步骤进行简化。
程诺自信满满。
第一步,用反证法,假设命题不成立,即存在某个n≥2,在n与2n之间没有素数。
第二步,将(2n)!/(n!n!)的分解(2n)!/(n!n!)=Πps(p)(s(p)为质因子p的幂次。
第三步,由推论5知pamp;lt;2n,由反证法假设知p≤n,再由推论3知p≤2n/3,因此(2n)!/(n!n!)=Πp≤2n/3ps(p)。
………………
第七步,利用推论8可得:(2n)!/(n!n!)≤Πp≤√2nps(p)·Π√2namp;lt;p≤2n/3p≤Πp≤√2nps(p)·Πp≤2n/3p!
思路畅通,程诺一路写下来,不见任何阻力,一个小时左右便完成一半多的证明步骤。
连程诺本人,都惊讶了好一阵。
原来我现在,不知不觉间已经这么厉害了啊!!!
程诺叉腰得意一会儿。
随后,便是低头继续苦逼的列着证明公式。
第八步,由于乘积中的第一组的被乘因子数目为√2n以内的素数数目,即不多于√2n/2-1(因偶数及1不是素数)……由此得到:(2n)!/(n!n!)amp;lt;(2n)√2n/2-1·42n/3。
第九步,(2n)!/(n!n!)是(1+1)2n展开式中最大的一项,而该展开式共有2n项(我们将首末两项1合并为2),因此(2n)!/(n!n!)≥22n/2n=4n/2n。两端取对数并进一步化简可得:√2nln4amp;lt;3ln(2n)。
下面,就是最后一步。
由于幂函数√2n随n的增长速度远快于对数函数ln(2n),因此上式对于足够大的n显然不可能成立。
至此,可说明,Bertrand假设成立。
论文的草稿部分,算是正式完工。
而且完工的时间,比程诺预想的要早了整整一半时间。
这样的话,还能趁热的将毕业论文的文档版给搞出来。
搞!搞!搞!
啪啪啪~~
程诺手指敲击着键盘,四个多小时后,毕业论文正式完稿。
程诺又随手做了一份PPT,毕业答辩时会用到。
至于答辩的腹稿,程诺并没有准备这个东西。
反正到时候兵来将挡,水来土掩就是。
要是以哥的水平,连一个毕业答辩都过不了,那还不如直接找块豆腐撞死算了。
哦,对了,还有一件事。
程诺一拍脑袋,仿佛记起了什么。
在网上搜索一阵,程诺将论文转换为英文的PDF格式,打包投给了位于德古国的一家学术期刊:《数学通讯符号》。
SCI期刊之一,位列一区。
影响因子,即便在一区的诸多著名学术杂志中,都属于中等偏上的水平。
……………………
PS:《爱情公寓》,哎~~
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另一边,华国。
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所以,这天白天的课一结束,程诺便匆匆赶到图书馆,随便挑了一个没人的位置,拿出纸笔,验证自己的想法。
既然将两个引理强加进Bertrand假设的证明过程中这个方向行不通,那程诺想的是,能否根据这两个引理,得出几个推论,然后再应用到Bertrand假设中。
这样的话,虽然拐了个弯,看似比切比雪夫的方法还要麻烦不少。但在真正的结果出来之前,谁也不敢百分百就这样说。
程诺觉得还是应该尝试一下。
工具早已备好,他沉吟了一阵,开始在草稿纸上做各种尝试。
他有不是上帝,并不能很明确的知晓通过引理得出来的推论究竟哪个有用,哪个没用。最稳妥的方法,就是一一尝试。
反正时间足够,程诺并不着急。
唰唰唰~~
低着头,他列下一行行算式。
【设m为满足pm≤2n的最大自然数,则显然对于iamp;gt;m,floor(2n/pi)-2floor(n/pi)=0-0=0,求和止于i=m,共计m项。由于floor(2x)-2floor(x)≤1,因此这m项中的每一项不是0就是1……】
由上,得推论1:【设n为一自然数,p为一素数,则能整除(2n)!/(n!n!)的p的最高幂次为:s=Σi≥1[floor(2n/pi)-2floor(n/pi)]。】
【因为n≥3及2n/3amp;lt;p≤n表明p2amp;gt;2n,求和只有i=1一项,即:s=floor(2n/p)-2floor(n/p)。由于2n/3amp;lt;p≤n还表明1≤n/pamp;lt;3/2,因此s=floor(2n/p)-2floor(n/p)=2-2=0。】
由此,得推论2:【设n≥3为一自然数,p为一素数,s为能整除(2n)!/(n!n!)的p的最高幂次,则:(a)ps≤2n;(b)若pamp;gt;√2n,则s≤1;(c)若2n/3amp;lt;p≤n,则s=0。】
一行行,一列列。
除了上课,程诺一整天都泡在图书馆里。
等到晚上十点闭馆的时候,程诺才背着书包依依不舍的离开。
而在他手中拿着的草稿纸上,已经密密麻麻的列着十几个推论。
这是他劳动一天的成果。
明天程诺的工作,就是从这十几个推论中,寻找出对Bertrand假设证明工作有用的推论。
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一夜无话。
翌日,又是阳光明媚,春暖花开的一天。
日期是三月初,方教授给程诺的一个月假期还剩十多天的时间。
程诺又足够的时间去浪……哦,不,是去完善他的毕业论文。
论文的进度按照程诺规划的方案进行,这一天,他从推导出的十几个推论中寻找出证明Bertrand假设有重要作用的五个推论。
结束了这忙碌的一天,第二天,程诺便马不停蹄的开始正式Bertrand假设的证明。
这可不是个轻松的工作。
程诺没有多大把握能一天的时间搞定。
可一句古话说的好,一鼓作气,再而衰,三而竭。如今势头正足,最好一天拿下。
这个时候,程诺不得不再次准备开启修仙大法。
而修仙神器,“肾宝”,程诺也早已准备完毕。
肝吧,少年!
程诺右手碳素笔,左手肾宝,开始攻克最后一道难关。
切尔雪夫在证明Bertrand假设时,采取的方案是直接进行已知定理进行硬性推导,丝毫没有任何技巧性可言。
程诺当然不能这么做。
对于Bertrand假设,他准备使用反证法。
这是除了直接推导证明法之外最常用的证明方法,面对许多猜想时非常重要。
尤其是……在证明某个猜想不成立时!
但程诺现在当时不是要寻找反例,证明Bertrand假设不成立。
切尔雪夫已然证明这一假设的成立,使用反证法,无非是将证明步骤进行简化。
程诺自信满满。
第一步,用反证法,假设命题不成立,即存在某个n≥2,在n与2n之间没有素数。
第二步,将(2n)!/(n!n!)的分解(2n)!/(n!n!)=Πps(p)(s(p)为质因子p的幂次。
第三步,由推论5知pamp;lt;2n,由反证法假设知p≤n,再由推论3知p≤2n/3,因此(2n)!/(n!n!)=Πp≤2n/3ps(p)。
………………
第七步,利用推论8可得:(2n)!/(n!n!)≤Πp≤√2nps(p)·Π√2namp;lt;p≤2n/3p≤Πp≤√2nps(p)·Πp≤2n/3p!
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第八步,由于乘积中的第一组的被乘因子数目为√2n以内的素数数目,即不多于√2n/2-1(因偶数及1不是素数)……由此得到:(2n)!/(n!n!)amp;lt;(2n)√2n/2-1·42n/3。
第九步,(2n)!/(n!n!)是(1+1)2n展开式中最大的一项,而该展开式共有2n项(我们将首末两项1合并为2),因此(2n)!/(n!n!)≥22n/2n=4n/2n。两端取对数并进一步化简可得:√2nln4amp;lt;3ln(2n)。
下面,就是最后一步。
由于幂函数√2n随n的增长速度远快于对数函数ln(2n),因此上式对于足够大的n显然不可能成立。
至此,可说明,Bertrand假设成立。
论文的草稿部分,算是正式完工。
而且完工的时间,比程诺预想的要早了整整一半时间。
这样的话,还能趁热的将毕业论文的文档版给搞出来。
搞!搞!搞!
啪啪啪~~
程诺手指敲击着键盘,四个多小时后,毕业论文正式完稿。
程诺又随手做了一份PPT,毕业答辩时会用到。
至于答辩的腹稿,程诺并没有准备这个东西。
反正到时候兵来将挡,水来土掩就是。
要是以哥的水平,连一个毕业答辩都过不了,那还不如直接找块豆腐撞死算了。
哦,对了,还有一件事。
程诺一拍脑袋,仿佛记起了什么。
在网上搜索一阵,程诺将论文转换为英文的PDF格式,打包投给了位于德古国的一家学术期刊:《数学通讯符号》。
SCI期刊之一,位列一区。
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